Finał 2025 Zadania

Wysłane przez mb w wt., 15/04/2025 - 16:22

<br /> \centerline{POWSZECHNY INTERNETOWY KONKURS dla uczniów szkół<br /> średnich -- Matematyka} \centerline{Finał XXVI edycji -- 12 kwietnia 2025 r.}</p> <p>\vspace{-0.25cm}</p> <p>\begin{enumerate}</p> <p>\item Z cyfr należących do zbioru $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ tworzymy liczby<br /> $5$-cyfrowe (cyfry mogą się powtarzać). Zakładamy, że ułożenie każdej<br /> takiej liczby jest jednakowo prawdopodobne. Oblicz prawdopodobieństwo utworzenia takiej liczby, która jest złożona z dokładnie trzech<br /> różnych cyfr.<br /> \item Niech $(a_n)$, gdzie $n ­ \geq 1$, będzie nieskończonym rosnącym ciągiem<br /> arytmetycznym liczb całkowitych lub nieskończonym rosnącym ciągiem<br /> geometrycznym liczb całkowitych. Udowodnij, że jeśli pierwszy wyraz<br /> ciągu $(a_n )$ jest równy $1$, to ciąg $(a_n )$ zawiera nieskończenie wiele kwadratów i nieskończenie wiele sześcianów liczb całkowitych.<br /> \item W prostokątnym układzie współrzędnych dane są dwa punkty:<br /> $A = (0, a)$ oraz $B = (0, b)$, gdzie $0 < a < b$. Znajdź taki punkt<br /> $C = (x, 0)$, że cosinus miary kąta $\angle ACB$ przyjmuje wartość możliwie najmniejszą. Przyjmij, że $x > 0$. Ponadto skonstruuj ten punkt<br /> geometrycznie, tzn. z użyciem wyłącznie cyrkla i linijki. Podaj opis<br /> konstrukcji.<br /> \item Dla dowolnej dodatniej liczby naturalnej $n$, niech $S(n)$ oznacza sumę<br /> cyfr liczby $n$ zapisanej w układzie dziesiętnym, np. $S(2025) = 9$.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Jaka jest największa możliwa wartość liczby $S(n + 2024)$, jeśli wiemy, że $S(n) = 2025$?<br /> \item Jaka jest najmniejsza możliwa wartość liczby $S(n + 2025)$, jeśli<br /> wiemy, że $S(n) = 2024$?<br /> \end{enumerate}<br /> \item Dany jest trójkąt ostrokątny $ABC$. Udowodnij, że stosunek obwodu tego trójkąta do obwodu trójkąta, którego wierzchołkami są spodki wysokości trójkąta $ABC$, jest równy stosunkowi promienia okręgu opisanego<br /> i wpisanego w trójkąt $ABC$.</p> <p>\end{enumerate}<br /> \centerline{\bf Za rozwiązanie każdego zadania można uzyskać<br /> maksymalnie 20 punktów}</p> <p>