Finał 2022 Zadania

<br />
\centerline{POWSZECHNY INTERNETOWY KONKURS  dla uczniów szkół<br />
średnich -- Matematyka} \centerline{Finał XXIII edycji -- 11 czerwca<br />
2022 r.}</p>
<p>\vspace{-0.25cm}</p>
<p>\begin{enumerate}</p>
<p>\item Znajdź wszystkie wartości rzeczywistego parametru $m$ dla których \linebreak wszystkie rozwiązania równania $mx^2-(m-2)x-2=0$ są większe od $m$.</p>
<p>\item Wykaż, że jeśli $n$ jest liczbą całkowitą dodatnią, to liczba $F(n)$ określona wzorem<br />
$$F(n)=10^n+\frac{n}{n+3}(n^3+6n^2+11n+6)-4$$<br />
jest całkowita i podzielna przez $6$.</p>
<p>\item Niech $n$ będzie liczbą całkowitą większą od $1$. Rozważmy zbiór $X$ o~$n$ różnych elementach. Niech $P(X)$ oznacza zbiór wszystkich podzbiorów zbioru $X$ (\textit{przypominamy, że zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru}). Ze zbioru $P(X)$ wybieramy w sposób losowy dwa jego elementy przy czym nie wykluczamy możliwości, że wybraliśmy dwa razy ten sam element. Oblicz prawdopodobieństwo $p$ tego, że te dwa elementy zbioru $P(X)$, czyli dwa wybrane podzbiory zbioru $X$, mają co najmniej dwa wspólne elementy. Następnie znajdź najmniejsze takie $n$ dla którego $p\geq\frac{1}{3}$.</p>
<p>\item Niezerowe liczby rzeczywiste $a_1,a_2, \ldots, a_n$ są kolejnymi wyrazami pewnego ciągu geometrycznego. Znając liczbę całkowitą dodatnią $n$ oraz wielkości $S, T$, gdzie<br />
$$S=a_1+a_2+\ldots+a_n\quad\mathrm{oraz}\quad T=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n},$$<br />
oblicz wartość iloczynu $I=a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n$.</p>
<p>\item \textit{\textbf{Deficytem}} danego wierzchołka ustalonego wielościanu nazywamy różnicę pomiędzy miarą kąta pełnego a sumą miar kątów płaskich o danym wierzchołku. Wykaż, że suma deficytów wszystkich wierzchołków ostrosłupa jest równa $720^{\circ}$.</p>
<p>\end{enumerate}<br />
\centerline{\bf Za rozwiązanie każdego zadania można uzyskać<br />
maksymalnie 20 punktów}<br />