Finał 2019 Zadania

Wysłane przez mb w pon., 15/04/2019 - 11:07

\centerline{POWSZECHNY INTERNETOWY KONKURS dla uczniów szkół<br /> średnich - Matematyka} \centerline{Finał XX edycji - 13 kwietnia<br /> 2019 r.}</p> <p>\vspace{1cm}</p> <p>\begin{enumerate}</p> <p>\item Znajdź wszystkie liczby całkowite dodatnie $n$ takie, że suma cyfr \linebreak liczby $5^n$ jest równa $2^n$.</p> <p>\item Okrąg ${\cal O}_1$ o środku $X$ i promieniu $R$ i okrąg ${\cal O}_2$ o środku $Y$ \ i promieniu $r$ są styczne do pewnej prostej w punktach odpowiednio $A$ i $B$, \linebreak oraz są wzajemnie zewnętrznie styczne.<br /> Niech $AP$ będzie średnicą \linebreak okręgu ${\cal O}_1$ i niech $Q$ będzie punktem styczności prostej stycznej \linebreak poprowadzonej z punktu $P$ do okręgu ${\cal O}_2$. Wykaż, że $|AP|=|PQ|$.</p> <p>\item Udowodnij, że jeżeli $x_1, x_2, \ldots, x_n$ są dodatnimi liczbami rzeczywistymi oraz $x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n = \pi$, to<br /> \[(\log_{\pi}x_1)^2 + (\log_{\pi}x_2)^2 + \ldots + (\log_{\pi}x_n)^2 \geq \frac{1}{n}.\]</p> <p>\item Dany jest dowolny czworościan $ABCD$. Udowodnij, że \linebreak $| \sphericalangle ADC| < | \sphericalangle ADB| + |\sphericalangle BDC|$.</p> <p>\item W każdą komórkę tablicy $2019 \times 2019$ wpisano liczbę $+1$ lub $-1$. \linebreak Niech $w_i$, dla $i \in \{1,2, \ldots 2019\}$, oznacza sumę wszystkich liczb<br /> z $i$-tego \linebreak wiersza tej tablicy oraz $k_i$, dla $i \in \{1,2, \ldots 2019\}$, oznacza sumę \linebreak wszystkich liczb z $i$-tej kolumny tej tablicy. Niech ${ \cal W}$ oznacza iloczyn $w_1 \cdot w_2 \cdot \ldots \cdot w_{2019}$ oraz niech ${\cal K}$ oznacza iloczyn $k_1 \cdot k_2 \cdot \ldots \cdot k_{2019}$. \linebreak Oblicz prawdopodobieństwo tego, że liczba ${\cal W} + { \cal K}$ jest zerem.</p> <p>\end{enumerate}<br /> \centerline{\bf Za rozwiązanie każdego zadania można uzyskać maksymalnie 20 punktów}<br />