Finał 2018 Zadania

Wysłane przez mb w sob., 14/04/2018 - 19:32

<br /> \centerline{POWSZECHNY INTERNETOWY KONKURS dla uczniów szkół<br /> średnich - Matematyka} \centerline{Finał XIX edycji - 14 kwietnia<br /> 2018}</p> <p>\vspace{1cm}</p> <p>\begin{enumerate}</p> <p>\item Znajdź najmniejszą liczbę naturalną, której ostatnią cyfrą jest 7 i taką, że jeśli przeniesiemy cyfrę 7 z końca na początek,<br /> to otrzymamy liczbę pięć razy większą od danej.</p> <p>\item Znajdź wszystkie rozwiązania równania:<br /> \[ 2 \tg^2(x)+ 2 \ctg^2(x) + \cos(4x) =3.\]</p> <p>\item W szkole jest $2n$ uczniów. W każdy piątek $n$ uczniów<br /> wychodzi wspólnie \linebreak[4] na wycieczkę. Po kilku wycieczkach okazało<br /> się, że każda para uczniów była wspólnie na wycieczce co najmniej raz.<br /> Wykaż, że zostało \linebreak[4] zorganizowanych co najmniej 6 wycieczek.</p> <p>\item Punkt $(x_1, y_1)$ na płaszczyźnie $\mathbb{R}^2$ leży na południowy zachód\linebreak[4] od punktu $(x_2, y_2)$,<br /> jeżeli $x_1 \leq x_2$ oraz $y_1 \leq y_2$.<br /> Z okręgu o równaniu \linebreak[4]$x^2+y^2=1$ losujemy kolejno dwa punkty.<br /> Oblicz prawdopodobieństwo tego, że drugi wylosowany punkt znajdzie się na południowy zachód \linebreak[4]od pierwszego wylosowanego punktu.</p> <p>\item Długości boków trójkąta $ABC$ są równe $|AB|=10$, $|BC|=12$, \linebreak[4] $|CA|=8$.<br /> Udowodnij, że prosta przechodząca przez środek okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ i przez środek okręgu opisanego na tym trójkącie,<br /> jest prostopadła do dwusiecznej kąta $ACB$.</p> <p>\end{enumerate}<br /> \centerline{\bf Za rozwiązanie każdego zadania można uzyskać<br /> maksymalnie 20 punktów}</p> <p>