Finał 2017 Zadania

<br />
\centerline{POWSZECHNY INTERNETOWY KONKURS dla uczniów szkół<br />
średnich - Matematyka} \centerline{Finał XVIII edycji - 8 kwietnia<br />
2017}</p>
<p>\vspace{1cm}</p>
<p>\begin{enumerate}</p>
<p>\item Wyznacz wszystkie liczby całkowite dodatnie $n$ takie, że<br />
reszta \linebreak[4] z dzielenia liczby $n^3-n+15$ przez liczbę<br />
$n+2$ jest równa 1.</p>
<p>\item Znajdź wszystkie rozwiązania równania:<br />
\[ 4 \cos^4(x) - \cos(2x) -<br />
\frac{1}{2}\cos(4x)+\cos(\frac{3x}{4})=\frac{7}{2} . \]</p>
<p>\item Ze zbioru liczb $\{1,2,3, \ldots, 667\}$ wybieramy losowo bez zwracania \linebreak[4] 17 liczb $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_{17}$  i<br />
ustawiamy  je w rosnącej kolejności tak, że<br />
\[ x_1 < x_2 < x_3 < \ldots < x_{17}.\]<br />
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że liczby stojące na miejscach<br />
\linebreak[4] nieparzystych: $x_1, x_3, x_5, \ldots, x_{17}$ są kolejnymi wyrazami ciągu \linebreak[4]<br />
geometrycznego.</p>
<p>\item Wśród wszystkich trójkątów wpisanych w dany okrąg o promieniu<br />
$r$ znajdź trójkąt o największym polu. Odpowiedź uzasadnij.</p>
<p>\item Boki i przekątne 17-kąta foremnego pokolorowano 15 kolorami<br />
\linebreak[4] (każdy odcinek dokładnie jednym kolorem) tak, że z<br />
każdego \linebreak[4] wierzchołka wychodzą odcinki w każdym z 15 kolorów. Udowodnij,<br />
że istnieje co najwyżej jeden trójkąt jednokolorowy o<br />
wierzchołkach \linebreak[4] w wierzchołkach tego 17-kżta oraz że nie istnieje<br />
jednokolorowy \linebreak[4] kwadrat.<br />
\end{enumerate}<br />
\centerline{\bf Za rozwiązanie każdego zadania można uzyskać<br />
maksymalnie 20 punktów}</p>
<p>