Finał 2015 Zadania

Wysłane przez mb w sob., 18/04/2015 - 17:05

\centerline{POWSZECHNY KONKURS INTERNETOWY dla uczniów szkół<br /> średnich - Matematyka} \centerline{Finał XVI edycji - 18 kwietnia<br /> 2015}</p> <p>\vspace{1cm}</p> <p>\begin{enumerate}</p> <p>\item W prostokątnym układzie współrzędnych narysować zbiór wszystkich punktów o współrzędnych $(a,b)$, dla których<br /> wszystkie pierwiastki \linebreak[4] równania $ax^2+2bx+4a=0$ są większe niż 1.</p> <p>\item Udowodnić prawdziwość następującej nierówności dla dowolnych \linebreak[4]<br /> dodatnich liczb rzeczywistych $x, y, z$:<br /> \[\frac{x^3}{(x+y)^2}+\frac{y^3}{(y+z)^2}+\frac{z^3}{(z+x)^2} \geq<br /> \frac{x+y+z}{4} \]</p> <p>\item Rozwiązać równanie:<br /> \[ \sin 2x+2=(1+\cos 2x) \cdot (\sin x+\cos x) \]</p> <p>\item Dany jest n-elementowy zbiór ${\cal M}$. Spośród wszystkich<br /> niepustych \linebreak[4] oraz rozłącznych par podzbiorów zbioru ${\cal M}$<br /> losujemy jedną parę.\linebreak[4] Znaleźć prawdopodobieństwo $p_n$ tego, że<br /> wylosowaliśmy taką parę \linebreak[4]zbiorów, których suma nie jest równa zbiorowi<br /> ${\cal M}$. Wykazać,\linebreak[4] że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych $n$ takich, że<br /> $p_n \geq 0,99$.</p> <p>\item W trójkąt $ABC$ wpisano okrąg o środku w punkcie $O$. Prosta<br /> $CO$ przecina okrąg opisany na trójkącie $ABC$ w punkcie $D$.<br /> Udowodnić, \linebreak[4] że iloczyn długości odcinków $\overline{CO}$ i<br /> $\overline{DO}$ jest dwa razy większy niż iloczyn promieni okręgów<br /> opisanego i wpisanego w trójkąt $ABC$.</p> <p>\end{enumerate}<br /> \centerline{\bf Za rozwiązanie każdego zadania można uzyskać<br /> maksymalnie 20 punktów}<br />