Finał 2011 Rozwiązania

Wysłane przez dn w pt., 21/11/2014 - 21:08

$ \centerline{POWSZECHNY KONKURS INTERNETOWY dla uczniów szkół średnich - Matematyka} \centerline{Finał XII edycji - 9 kwietnia 2011} \centerline{Przykładowe rozwiązania} $

$\textbf{\underline{Zadanie 1.}} Rozwiązać nierówność: $$\left(x-2\right)^{x^4-6x^3+9x^2-6x+8}>1$$ \\ \\ \textbf{\underline{Rozwiązanie}} \\ \\ Dziedzina: $\mathbb{D}=\{x\in\mathbb{R}:\ x>2\}$. Mamy do rozpatrzenia dwie możliwości, gdy podstawa zawiera się w przedziale $(0,1)$ oraz kiedy zawiera się w przedziale $\left<1,\infty\right)$. \\ Niech najpierw $x-2\in(0,1)$, czyli $x\in(2,3)$, wtedy: $$\left(x-2\right)^{x^4-6x^3+9x^2-6x+8}>(x-2)^0$$ $$x^4-6x^3+9x^2-6x+8<0$$ $$\ldots$$ $$(x-2)(x-4)(x^2+1)<0$$ $$(x-2)(x-4)<0$$ $$x\in(2,4)$$ Po uwzględnieniu założeń otrzymujemy $x\in(2,3)$. \\ Dla $x-2\in\left<1,\infty\right)$, czyli $x\in\left<3,\infty\right)$, wtedy: $$\left(x-2\right)^{x^4-6x^3+9x^2-6x+8}>(x-2)^0$$ $$x^4-6x^3+9x^2-6x+8>0$$ $$(x-2)(x-4)(x^2+1)>0$$ $$(x-2)(x-4)>0$$ $$x\in(-\infty,2)\cup(4,\infty)$$ Po uwzględnieniu założeń otrzymujemy $x\in(4,\infty)$. \\ Reasumując rozwiązaniem nierówności jest $x\in(2,3)\cup\left(4,\infty\right)$. $

$ \textbf{\underline{Zadanie 2.}} Spośród cyfr $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ losujemy kolejno bez zwracania pierwszą cyfrę $c_1$, następnie drugą cyfrę $c_2$, a potem trzecią cyfrę $c_3$. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że liczba $2c_1+3c_2+c_3$ będzie parzysta. \\ \\ \textbf{\underline{Rozwiązanie}} \\ \\ $\Omega$ - wszystkie możliwe losowania cyfr $c_1,c_2,c_3$ z podanych w zadaniu cyfr, oczywiście $|\Omega|=9\cdot 8\cdot 7$. $A$ - zbiór tych zdarzeń dla których liczba $2c_1+3c_2+c_3$ jest parzysta. \\ Liczba $2c_1+3c_2+c_3$ jest parzysta tylko w dwóch przypadkach: \\ $B$ - gdy $c_2,c_3$ są liczbami parzystymi $C$ - gdy $c_2,c_3$ są liczbami nieparzystymi \\ Oczywiście $|B|=4\cdot 3\cdot 7$ (najpierw wybieramy $c_2$ na 4 sposoby, potem $c_3$ na trzy sposoby, a $c_1$ wybieramy dowolnie - na pozostałe $7$). Analogicznie $|C|=5\cdot 4\cdot 7$. Ponieważ zdarzenia $A$ i $B$ są rozłączne, to: $$|A|=|B|+|C|=7\cdot 4(3+5)$$ \\ Stąd szukane prawdopodobieństwo: $$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{7\cdot 4(3+5)}{9\cdot 8\cdot 7}=\frac{4}{9}$$ $

$ \textbf{\underline{Zadanie 3.}} Znaleźć wszystkie liczby naturalne $x$, dla których iloczyn cyfr liczby $x$ w systemie dziesiętnym jest równy $x^2-10x-22$ \\ \\ \textbf{\underline{Rozwiązanie}} \\ \\ Zauważmy najpierw, że iloczyn cyfr liczby majacej $n$ cyfr jest mniejszy zawsze od $\underbrace{9\cdot\ldots\cdot 9}_n=9^n<10^n$. \\ Wartość najmniejszej liczby która ma $n$ cyfr to $10^{n-1}$, zatem najmniejsza wartość wyrażenia $x^2-10x-22$ to $10^{2n-2}-10^n-22=10^{2n}:100-10^n-22$. \\ Wyznaczamy teraz $n$ dla których spełnina jest nierówność: $$10^{2n}:100-10^n-22>10^n$$ $$10^{2n}:100-2\cdot 10^n-22>0$$ $$10^{2n}-200\cdot 10^n-2200>0$$ $$10^{2n}-2\cdot 10^n\cdot 100+10000-2200>0$$ $$(10^n-100)^2>7800$$ $$|10^n-100|>\sqrt{7800}$$ Zauważmy, że dla $n\geqslant 3$ otrzymamy: $$10^n-100>10\sqrt{78}$$ $$10^n>100+10\sqrt{78}$$ Jest to prawdziwe, ponieważ $$10^n\geqslant 10^3>100+10\sqrt{78}$$ Z tego wynika, że jedynymi liczbami mogącymi spełnić warunki zadania są liczby jedno oraz dwucyfrowe. \\ Zauważmy dalej, że jeżeli $x\geqslant 20$, to $x^2-10x-22=(x-5)^2-47\geqslant 15^2-47=225-47=178$, a największa możliwa wartość iloczynu cyfr liczby dwucyfrowej $x$ to $9^2=81$, więc również nie może zachodzić taka równość. $ $ \\ Niech więc $x$ będzie liczbą dwucyfrową, wtedy musi zachodzić $x=10+a$ dla $a\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, mamy wtedy do rozwiązania równość: $$(10+a-5)^2-47=1\cdot a$$ $$(5+a)^2-47=a$$ $$25+10a+a^2-47=a$$ $$a^2+9a-22=0$$ $$(a+11)(a-2)=0$$ $$a=2$$ Więc $x=12$. \\ W przypadku gdy $x$ jest jednocyfrowa, to musimy rozwiązać: $$(x-5)^2-47=x$$ $$x^2-10x+25-47=x$$ $$x^2-11x-22=0$$ $$\Delta=121+88=209$$ Więc na pewno $x\not\in\mathbb{Z}$. \\ Jedynym rozwiązaniem jest więc $x=12$. $

$ \textbf{\underline{Zadanie 4.}} Niech $x_0$ będzie najmniejszym dodatnim pierwiastkiem równania $$\sqrt{1+2\sin 2x}=\cos x-\sin x$$ Wykazać, nie stosując rachunku różniczkowego, że dla każdego $x\in\left(0; \frac{1}{6}x_0\right)$ jest spełniona nierówność: $$\frac{\cos x}{\sin^2x(\cos x-\sin x)}>8.$$ Czy powyższa nierówność zachodzi dla każdego $\displaystyle x\in\left(0; \frac{\pi}{6}\log_{3+2\sqrt{2}}\left(6+5\sqrt{2}\right)\right)$? Odpowiedź uzasadnij. \\ \\ \textbf{\underline{Rozwiązanie}} \\ \\ $ $ Zastosujemy tzw. ''metodę analizy starożytnych'' do znalezienia $x_0$: $$\sqrt{1+2\sin 2x}=\cos x-\sin x$$ $$1+2\sin 2x=(\cos x-\sin x)^2$$ $$1+2\sin 2x=\cos^2x-2\sin x\cos x+\sin^2x$$ $$1+2\sin 2x=1-\sin 2x$$ $$3\sin 2x=0$$ $$2x=k\pi,k\in\mathbb{Z}$$ $$x=\frac{k\pi}{2},k\in\mathbb{Z}$$ Skoro $x_0$ ma być dodatnie sprawdzamy po kolei najmniejsze prawdopodobne rozwiązania aż nie znajdziemy takiego rozwiązania, które spełnia początkowego równania. Łatwo się przekonać, że $\frac{\pi}{2}$, $\pi$ nie spełniają początkowego równania, dopiero $x=\frac{3\pi}{2}$ spełnia, więc $x_0=\frac{3\pi}{2}$. $
$ Teraz mamy udowodnić, że dla $\displaystyle x\in\left(0;\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{2}\pi\right)=\left(0;\frac{\pi}{4}\right)$ spełniona będzie nierównoość: $$\frac{\cos x}{\sin^2x(\cos x-\sin x)}>8$$ Podzielmy przez $\cos^3x$ licznik i mianownik: $$\frac{\frac{1}{\cos^2x}}{\tan^2x(1-\tan x)}>8$$ $$\frac{\tan^2x+1}{\tan^2x(1-\tan x)}>8$$ Podstawmy $t=\tan x$ dla $t\in(0,1)$, mamy wtedy: $$\frac{t^2+1}{t^2(1-t)}>8$$ Rozważmy lewą stronę nierówności: $$\frac{t^2+1}{t}\cdot\frac{1}{t(1-t)}= \left(t+\frac{1}{t}\right)\cdot\frac{1}{t-t^2}$$ Ponieważ $t+\frac{1}{t}>2$ dla $t\in(0,1)$ oraz $t-t^2\leqslant\frac{1}{4}$ (z ekstremum funkcji kwadratowej), to $\frac{1}{t-t^2}\geqslant 4$ (pamiętamy, że $t-t^2>0$), stąd: $$\left(t+\frac{1}{t}\right)\cdot\frac{1}{t-t^2}>2\cdot 4=8$$ Więc rzeczywiście się zgadza. $
$ Teraz mamy odpowiedzieć na pytanie, czy nierówność z zadania będzie spełniona dla $x\in\left(0;\frac{\pi}{6}\log_{3+2\sqrt{2}}(6+5\sqrt{2})\right)=\left(0;\frac{\pi}{6}\log_{3+2\sqrt{2}}(3+2\sqrt{2})^2\right)=\left(0;\frac{\pi}{6}\cdot 2\right)=\left(0;\frac{\pi}{3}\right)$. $$\frac{\tan^2x+1}{\tan^2x(1-\tan x)}>8$$ Podstawmy $\displaystyle x=\frac{7\pi}{24}$ (wartość pomiędzy $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ a $\displaystyle \frac{\pi}{3}$, dla niej licznik wyrażenia będzie oczywiście dodatni, ale mianownik ujemny, ponieważ $\displaystyle \tan\frac{7\pi}{24}>1$, więc $\displaystyle 1-\tan\frac{7\pi}{24}<0$, więc sprzeczność (ujemna liczba nie będzie większa od $8$). $

$ \textbf{\underline{Zadanie 5.}} Dany jest trójkąt prostokątny. Udowodnij, że okrąg przechodzący przez środki boków tego trójkąta jest styczny wewnętrznie do okręgu wpisanego w ten trójkąt. \\ \\ \textbf{\underline{Rozwiązanie}} $

$ Niech: $W$ - środek okręgu wpisanego w $\Delta ABC$ $S$ - środek odcinka $PR$ $R_o$ - promień okręgu opisanego na $\Delta PQR$ $W'$ - rzut $W$ na $AB$, $W''$ - rzut $W$ na $AC$, analogicznie $S'$ i $S''$ są rzutami punktu $S$ na $AB$ i $AC$. $P,Q,R$ - środki boków $\Delta ABC$ $a=|AB|, b=|AC|, c=|BC$ Zauważmy, że trójkąt $\Delta PQR$ jest również trójkątem prostokątnym, więc $S$ jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie, stąd: $R_o=\frac{1}{2}|PR|=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}c=\frac{c}{4}$ Oczywiście promień okręgu wpisanego w $\Delta ABC$ ma długość $\displaystyle r=\frac{a+b-c}{2}$. Z tw. Pitagorasa: $$|SW|^2=|S'W'|^2+|S''W''|^2$$ $$|SW|^2=\left(r-\frac{a}{4}\right)^2+\left(r-\frac{b}{4}\right)^2$$ $$|SW|^2=2r^2-2\left(\frac{a}{4}+\frac{b}{4}\right)r+\frac{a^2+b^2}{16}$$ $$|SW|^2=r^2+r\left(r-\frac{a+b}{2}\right)+\frac{c^2}{16}$$ $$|SW|^2=r^2+r\left(\frac{a+b-c}{2}-\frac{a+b}{2}\right)+\frac{c^2}{16}$$ $$|SW|^2=r^2-2\cdot r\cdot\frac{c}{4}+\frac{c^2}{4^2}$$ $$|SW|^2=\left(r-\frac{c}{4}\right)^2$$ $$|SW|=r-\frac{c}{4}$$ $$|SW|=r-R$$ Czyli okręgi są stycznie wewnętrznie. $

Menu główne

Finał 2011 Rozwiązania

Sponsorzy konkursu:

Organizatorzy konkursu

Patroni Konkursu

Kontakt Elektroniczny

Adres pocztowy

Menu główne

Jesteś tutaj

Finał 2011 Rozwiązania

Sponsorzy konkursu:

Organizatorzy konkursu

Patroni Konkursu

Kontakt Elektroniczny

Adres pocztowy