Finał 2004 Zadania

Wysłane przez dn w śr., 19/11/2014 - 22:25

<br /> \centerline{POWSZECHNY INTERNETOWY KONKURS dla uczniów szkół<br /> średnich - Matematyka} \centerline{Finał V edycji - 5 czerwca 2004}</p> <p>\begin{enumerate}</p> <p>\item Ciąg $ \left( a_{n}\right) $ określony jest rekurencyjnie:<br /> $$\displaystyle a_{1}=\frac{1}{2},\ \displaystyle a_{n+1}=\sqrt{\frac{1+a_{n}}{2}}\ \ \mbox{dla}\ \ \displaystyle n=1,2,3,\ldots.$$<br /> Wykazać, że ten ciąg jest zbieżny i obliczyć jego granicę.</p> <p>\item Wykazać, że w trójkącie prostokątnym dwusieczna kąta prostego jest jednocześnie dwusieczną kąta między środkową i wysokością tego trójkąta opuszczonymi z wierzchołka kąta prostego.</p> <p>\item Wyznaczyć zbiór wszystkich rzeczywistych wartości parametru $ k$, dla których pierwiastki wielomianu<br /> $$\displaystyle W\left( x\right) =\frac{1}{3}x^{3}-\frac{3k}{2}x^{2}+2k^{2}x-k$$<br /> są długościami krawędzi prostopadłościanu, którego żadna ściana nie jest kwadratem. \\<br /> Dla takich wartości $ k$ wyznaczyć pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu.</p> <p>\item Obliczyć jednostronną granicę<br /> $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow\pi^{-}}\left[ \left( x-\pi\right) \left(\cot x\cdot\sqrt{\cot^2x-\cot x+1}+\cot^2x\right)\right]$$</p> <p>\item Rzucamy symetryczną sześcienną kostką do gry tak długo, aż wyrzucimy kolejno dwie szóstki. Możemy wykonać maksymalnie 6 rzutów. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że będziemy rzucać kostką 6 razy?</p> <p>\end{enumerate}<br /> \centerline{\bf Za rozwiązanie każdego zadania można uzyskać<br /> maksymalnie 20 punktów}<br />