Finał 2005 Zadania

Wysłane przez dn w śr., 19/11/2014 - 22:22

<br /> \centerline{POWSZECHNY INTERNETOWY KONKURS dla uczniów szkół<br /> średnich - Matematyka} \centerline{Finał VI edycji - 11 kwietnia<br /> 2005}</p> <p>\begin{enumerate}</p> <p>\item Liczba $ x_{0}$ jest pierwiastkiem równania<br /> $$\displaystyle \log_{\sqrt{x}}\left( 4x+3\right) =2\log_{4x+3}x.$$<br /> Znaleźć taki punkt paraboli $\displaystyle y=\frac{1}{18}x^{2}+\frac{1}{2}x+1$, którego odległość od punktu $\displaystyle \left( x_{0},\frac{1}{2}\right) $ jest najmniejsza.</p> <p>\item Ostrosłup $ ABCS$ ma w podstawie trójkąt prostokątny $ ABC$ o kącie prostym przy wierzchołku $ C$. Punkt $ E$ jest środkiem boku $ AB$. Punkt $ F$ jest punktem przecięcia dwusiecznej kąta $ CEB$ z bokiem $ CB$. Płaszczyzna wyznaczona przez punkty $ E$, $ F$,$ S$ dzieli ostrosłup na dwie bryły. Obliczyć stosunek objętości tych brył.</p> <p>\item Rozwiązać równanie<br /> $$\displaystyle \sin^{10}x+\cos^{10}x=\frac{29}{16}\cos^{4}2x.$$</p> <p>\item Ze zbioru liczb $ \left\{ 5,6,7,8,9,\ldots,3n\right\}$, gdzie $ n$ jest liczbą naturalną większą od jedności, losujemy podzbiór czteroelementowy. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma liczb będących elementami wylosowanego podzbioru jest parzysta?</p> <p>\item Dany jest trójkąt o bokach długości $ 13$ cm, $ 14$ cm i $ 15$ cm. Obliczyć sumę odległości punktu przecięcia się wysokości od wierzchołków tego trójkąta.</p> <p>\end{enumerate}<br /> \centerline{\bf Za rozwiązanie każdego zadania można uzyskać<br /> maksymalnie 20 punktów}<br />