Finał 2006 Zadania

Wysłane przez dn w śr., 19/11/2014 - 22:18

<br /> \centerline{POWSZECHNY INTERNETOWY KONKURS dla uczniów szkół<br /> średnich - Matematyka} \centerline{Finał VII edycji - 24 czerwca<br /> 2006}</p> <p>\begin{enumerate}</p> <p>\item Rozwiązać równanie<br /> $$\left( \sqrt{1-\cos x}-\sin x\right) \left( \sin x+\cos x-1-\frac{1}{2}\sin 2x\right) =0.$$ </p> <p>\item Dany jest czworokąt ABCD wpisany w okrąg, którego przekątne AC i BD są wzajemnie prostopadłe i przecinają się w punkcie O. Przez ten punkt poprowadzono prostą prostopadłą do boku AD. Udowodnić, że prosta ta dzieli bok BC na połowy.</p> <p>\item Zbadać monotoniczność i ekstrema oraz narysować wykres funkcji<br /> $$ y=\left| f\left( x\right) \right|,$$<br /> jeżeli<br /> $$ f\left( x\right) =\lim_{n\rightarrow +\infty }\left[ x-x^{4}+x^{7}-\ldots +\left( -1\right) ^{n+1}x^{3n-2}\right].$$</p> <p>\item Dane są trzy wzajemnie prostopadłe odcinki $OA$, $OB$, $OC$ o długościach odpowiednio<br /> $a$, $b$, $c$. Obliczyć odległość punktu $O$ od płaszczyzny trójkąta $ABC$.</p> <p>\item Spośród liczb naturalnych od 1 do 1200 losujemy bez zwracania dwie liczby: m i n. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że liczba<br /> $$\displaystyle 2\left( mn\right) ^{2}+m^{2}$$<br /> jest podzielna przez $12$? Wynik podać z dokładnością do $0,01$.</p> <p>\end{enumerate}<br /> \centerline{\bf Za rozwiązanie każdego zadania można uzyskać<br /> maksymalnie 20 punktów}<br />