Finał 2010 Zadania

Wysłane przez dn w śr., 19/11/2014 - 21:14

<br /> \centerline{POWSZECHNY KONKURS INTERNETOWY dla uczniów szkół<br /> średnich - Matematyka} \centerline{Finał XI edycji - 17 kwietnia<br /> 2010}</p> <p>\begin{enumerate}</p> <p>\item Rozwiązać układ równań<br /> $$\left\{\begin{array}{l} \displaystyle x^y=243 \\ \\ \displaystyle \left(\frac{2}{3}x\right)^{2y}=1024 \end{array}\right.$$</p> <p>\item Rozwiązać równanie<br /> $$\sin x\left(1+2\cos 2x\right)=\log_2\left(\sin\left(\frac{\pi x}{2|x|}\right)\right)+\cos 108^{\circ}+\sin 54^{\circ}$$<br /> a następnie podać jego najmniejszy pierwiastek.</p> <p>\item Zbadać funkcję<br /> $$f(x)=\max\left\{\frac{4x}{x^2+1},\left(2-\sqrt{3}\right)x\right\},$$<br /> a następnie znaleźć i wykreślić zależność liczby $k$ pierwiastków równania<br /> $$f(x)=m$$<br /> od rzeczywistego parametru $m$.<br /> \\ \textbf{Uwaga:} Symbol $\max\{a,b\}$ oznacza większą z liczb rzeczywistych $a,b$ dla $a\neq b$ lub $a$ dla $a=b$.</p> <p>\item Ze zbioru liczb całkowitych spełniających warunek $|n|\leqslant 20$ losujemy bez zwracania dwie liczby: $a$ i $b$. Jakie jest prawdopodobieństwo spełnienia nierówności $|a-b|\leqslant 5$, jeśli wiadomo, że równanie $|x^2+x+a|=x$ ma dwa różne rozwiązania, zaś równanie $|x^2+x+b|=x$ nie ma rozwiązać rzeczywistych.</p> <p>\item Dany trójkąt $ABC$ nie jest trójkątem równoramiennym. Niech $O$ będzie środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie, zaś $W$ środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Udowodnić, że<br /> $$|WO|^2=R^2-2Rr,$$<br /> gdzie $R$ jest długością promienia okręgu opisanego na tym trójkącie, zaś $r$ jest długością promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.</p> <p>\end{enumerate}<br /> \centerline{\bf Za rozwiązanie każdego zadania można uzyskać<br /> maksymalnie 20 punktów}<br />