Finał 2011 Zadania

Wysłane przez dn w śr., 19/11/2014 - 21:05

<br /> \centerline{POWSZECHNY KONKURS INTERNETOWY dla uczniów szkół<br /> średnich - Matematyka} \centerline{Finał XII edycji - 9 kwietnia<br /> 2011}</p> <p>\begin{enumerate}</p> <p>\item Rozwiązać nierówność:<br /> $$\left(x-2\right)^{x^4-6x^3+9x^2-6x+8}>1$$</p> <p>\item Spośród cyfr $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ losujemy kolejno bez zwracania pierwszą cyfrę $c_1$, następnie drugą cyfrę $c_2$, a potem trzecią cyfrę $c_3$. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że liczba $2c_1+3c_2+c_3$ będzie parzysta.</p> <p>\item Znaleźć wszystkie liczby naturalne $x$, dla których iloczyn cyfr liczby $x$ w systemie dziesiętnym jest równy $x^2-10x-22$</p> <p>\item Niech $x_0$ będzie najmniejszym dodatnim pierwiastkiem równania<br /> $$\sqrt{1+2\sin 2x}=\cos x-\sin x$$<br /> Wykazać, nie stosując rachunku różniczkowego, że dla każdego $x\in\left(0; \frac{1}{6}x_0\right)$ jest spełniona nierówność:<br /> $$\frac{\cos x}{\sin^2x(\cos x-\sin x)}>8.$$<br /> Czy powyższa nierówność zachodzi dla każdego $\displaystyle x\in\left(0; \frac{\pi}{6}\log_{3+2\sqrt{2}}\left(6+5\sqrt{2}\right)\right)$? Odpowiedź uzasadnij.</p> <p>\item Dany jest trójkąt prostokątny. Udowodnij, że okrąg przechodzący przez środki boków tego trójkąta jest styczny wewnętrznie do okręgu wpisanego w ten trójkąt.</p> <p>\end{enumerate}<br /> \centerline{\bf Za rozwiązanie każdego zadania można uzyskać<br /> maksymalnie 20 punktów}<br />