Finał 2012 Zadania

Wysłane przez dn w śr., 19/11/2014 - 20:59

<br /> \centerline{POWSZECHNY KONKURS INTERNETOWY dla uczniów szkół<br /> średnich - Matematyka} \centerline{Finał XIII edycji - 14 kwietnia<br /> 2012}</p> <p>\begin{enumerate}</p> <p>\item Obliczyć pole obszaru na płaszczyźnie składającego się z wszystkich punktów o współrzędnych $(p,q)$, które są takimi parami wartości parametrów $p$ i $q$, że równanie $16x^2+8(2p-1)x-4q^2+1=0$ nie ma pierwiastków rzeczywistych.</p> <p>\item Naszkicować wykres funkcji $y=f(x)$ wiedząc, że<br /> $$f(x)=ax^3+bx^2+cx-4, f(-1)=-20, f(2)=-2, f(5)=16$$<br /> Następnie znaleźć zbiór wszystkich $x$, dla których $f(x)\geqslant -2$</p> <p>\item Mamy $n^2$ kolejnych liczb naturalnych. Tworzymy w sposób losowy z nich piramidę w następujący sposób: pierwszy (najwyższy) poziom zawiera jedną liczbę, a każdy następny poziom o dwie liczby więcej niż poprzedni aż do wykorzystania wszystkich $n^2$ tych liczb.\\<br /> Niech $a_k$ oznacza maksymalną liczbę na $k$ - tym poziomie tej piramidy. Znaleźć prawdopodobieństwo $P_n$ tego, że ciąg $a_k$ jest rosnący. Następnie znaleźć najmniejszą liczbę całkowitą spełniającą nierówność:<br /> $$P_n<\frac{(2n+1)!}{10^22^{n-2}(n!)^3}$$</p> <p>\item Rozwiązać równanie<br /> $$\left(\sin x+\cos x\right)^3+\sin 2x-\frac{1}{4}\log_ab=0$$<br /> gdzie<br /> $$a=\sqrt{3+2\sqrt{2}}-1, b=\frac{1}{\sin 10^{\circ}}-\frac{\sqrt{3}}{\cos 10^{\circ}}$$</p> <p>\item Dany jest trójkąt $ABC$. Punkt $D$ należy do boku $AB$, zaś punkt $E$ należy do boku $BC$. Wiadomo, że $|AD|:|BD|=2:5$, $|CE|:|BE|=3:4$ oraz pole trójkąta $ABC$ jest równe $S$. Odcinki $AE$ i $CD$ przecinają się w punkcie $F$. Oblicz pole trójkąta $ACF$.</p> <p>\end{enumerate}<br /> \centerline{\bf Za rozwiązanie każdego zadania można uzyskać<br /> maksymalnie 20 punktów}<br />