Finał 2013 Zadania

Wysłane przez dn w śr., 19/11/2014 - 20:52

<br /> \centerline{POWSZECHNY KONKURS INTERNETOWY dla uczniów szkół<br /> średnich - Matematyka} \centerline{Finał XIV edycji - 13 kwietnia<br /> 2013}</p> <p>\begin{enumerate}</p> <p>\item Z odcinka $\left<0,2\right>$ wybieramy losowo i niezależnie dwie liczby $a$ i $b$. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że równanie $ax^2+2ax+3b=0$ będzie miało dwa różne pierwiastki rzeczywiste?</p> <p>\item Mamy $n$ punktów $A_1,A_2,\ldots,A_n$ na płaszczyźnie, z których żadne trzy nie leżą na jednej prostej. Tworzymy na wszystkie możliwe sposoby trójki różnych odcinków o końcach w punktach wybranych spośród $n$ danych punktów. Wyznaczyć liczbę różnych trójkątów, które możemy w ten sposób otrzymać, jeżeli wiemy, że liczba możliwych do utworzenia w ten sposób różnych łamanych otwartych jest dwa razy mniejsza od liczby wszystkich możliwych do utworzenia trójek różnych odcinków o końcach w punktach wybranych spośród $n$ danych punktów.</p> <p>\item Wyznaczyć zbiór wartości funkcji $y=f(x)$, jeżeli<br /> $$f(x)=\frac{x^2-4}{x^2-9}$$<br /> Następnie znaleźć i wykreślić zależność liczby różnych pierwiastków rzeczywistych równania $f(x)=m$ od rzeczywistego parametru $m$.</p> <p>\item Rozwiązać równanie<br /> $$4\sin(2x)+4\cos(2x)-4=\frac{\tan x+\sqrt{3}}{\cos x+\sin x}$$</p> <p>\item Punkty $A, B, C, D$ są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku. Na odcinkach $AB, AC, AD$ wybrano odpowiednio punkty $P, Q, R$ tak, że na czworokącie $APQR$ można opisać okrąg. Udowodnij, że<br /> $$|AP|\cdot |AB|+|AR|\cdot |AD|=|AQ|\cdot |AC|$$</p> <p>\end{enumerate}<br /> \centerline{\bf Za rozwiązanie każdego zadania można uzyskać<br /> maksymalnie 20 punktów}<br />